正交試驗法

第5章 正交試驗設計方法

5．1 試驗設計方法概述

試驗設計是數理統計學的一個重要的分支。多數數理統計方法主要用于分析已經得到的數據，而試驗設計卻是用于決定數據收集的方法。試驗設計方法主要討論如何合理地安排試驗以及試驗所得的數據如何分析等。

例5-1某化工廠想提高某化工產品的質量和產量，對工藝中三個主要因素各按三個水平進行試驗（見表5-1）。試驗的目的是為提高合格產品的產量，尋求最適宜的操作條件。

對此實例該如何進行試驗方案的設計呢？

很容易想到的是全面搭配法方案（如圖5-1所示）：

此方案數據點分布的均勻性極好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺點是實驗次數多達3＝27次（指數3代表3個因素，底數3代表每因素有3個水平）。因素、水平數愈多，則實驗次數就愈多，例如，做一個6因素3水平的試驗，就需3＝729次實驗，顯然難以做到。因此需要尋找一種合適的試驗設計方法。

試驗設計方法常用的術語定義如下。

試驗指標：指作為試驗研究過程的因變量，常為試驗結果特征的量（如得率、純度等）。例1的試驗指標為合格產品的產量。

因素：指作試驗研究過程的自變量，常常是造成試驗指標按某種規律發生變化的那些原因。如例1的溫度、壓力、堿的用量。

水平：指試驗中因素所處的具體狀態或情況，又稱為等級。如例1的溫度有3個水平。溫度用T表示，下標1、2、3表示因素的不同水平，分別記為T、T、T。

常用的試驗設計方法有：正交試驗設計法、均勻試驗設計法、單純形優化法、雙水平單純形優化法、回歸正交設計法、序貫試驗設計法等?？晒┻x擇的試驗方法很多，各種試驗設計方法都有其一定的特點。所面對的任務與要解決的問題不同，選擇的試驗設計方法也應有所不同。由于篇幅的限制，我們只討論正交試驗設計方法。

5．2 正交試驗設計方法的優點和特點

用正交表安排多因素試驗的方法，稱為正交試驗設計法。其特點為：①完成試驗要求所需的實驗次數少。②數據點的分布很均勻。③可用相應的極差分析方法、方差分析方法、回歸分析方法等對試驗結果進行分析，引出許多有價值的結論。

從例1可看出，采用全面搭配法方案，需做27次實驗。那么采用簡單比較法方案又如何呢？

先固定T和p，只改變m，觀察因素m不同水平的影響，做了如圖2-2（1）所示的三次實驗，發現m＝m時的實驗效果最好（好的用□表示），合格產品的產量最高，因此認為在后面的實驗中因素m應取m水平。

固定T和m，改變p的三次實驗如圖5-2（2）所示，發現p＝p時的實驗效果最好，因此認為因素p應取p水平。

固定p和m，改變T的三次實驗如圖5-2（3）所示，發現因素T宜取T水平。

因此可以引出結論：為提高合格產品的產量，最適宜的操作條件為Tpm。與全面搭配法方案相比，簡單比較法方案的優點是實驗的次數少，只需做9次實驗。但必須指出，簡單比較法方案的試驗結果是不可靠的。因為，①在改變m值（或p值，或T值）的三次實驗中，說m（或p或T）水平最好是有條件的。在T≠T，p≠p時，m水平不是最好的可能性是有的。②在改變m的三次實驗中，固定T＝T，p＝p應該說也是可以的，是隨意的，故在此方案中數據點的分布的均勻性是毫無保障的。③用這種方法比較條件好壞時，只是對單個的試驗數據進行數值上的簡單比較，不能排除必然存在的試驗數據誤差的干擾。

運用正交試驗設計方法，不僅兼有上述兩個方案的優點，而且實驗次數少，數據點分布均勻，結論的可靠性較好。

正交試驗設計方法是用正交表來安排試驗的。對于例1適用的正交表是L（3），其試驗安排見表5-2。

所有的正交表與L（3）正交表一樣，都具有以下兩個特點：

（1） 在每一列中，各個不同的數字出現的次數相同。在表L（3）中，每一列有三個水平，水平1、2、3都是各出現3次。

（2） 表中任意兩列并列在一起形成若干個數字對，不同數字對出現的次數也都相同。在表L（3）中，任意兩列并列在一起形成的數字對共有9個：（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），每一個數字對各出現一次。

表5－2 試驗安排表

這兩個特點稱為正交性。正是由于正交表具有上述特點，就保證了用正交表安排的試驗方案中因素水平是均衡搭配的，數據點的分布是均勻的。因素、水平數愈多，運用正交試驗設計方法，愈發能顯示出它的優越性，如上述提到的6因素3水平試驗，用全面搭配方案需729次，若用正交表L（3）來安排，則只需做27次試驗。

在化工生產中， 因素之間常有交互作用。 如果上述的因素T的數值和水平發生變化時，試驗指標隨因素p變化的規律也發生變化，或反過來，因素p的數值和水平發生變化時，試驗指標隨因素T變化的規律也發生變化。這種情況稱為因素T、p間有交互作用，記為T×p。

5．3 正交表

使用正交設計方法進行試驗方案的設計，就必須用到正交表。正交表請查閱有關參考書。

5.3.1 各列水平數均相同的正交表

各列水平數均相同的正交表，也稱單一水平正交表。這類正交表名稱的寫法舉例如下：

各列水平均為2的常用正交表有：L（2），L（2），L（2），L（2），L（2），L（2）。

各列水平數均為3的常用正交表有：L（3），L（3）。

各列水平數均為4的常用正交表有：L（4）

各列水平數均為3的常用正交表有：L（5）

5.3.2 混合水平正交表

各列水平數不相同的正交表，叫混合水平正交表，下面就是一個混合水平正交表名稱的寫法：

L（4×2）常簡寫為L（4×2）。此混合水平正交表含有1 個4水平列，4個2水平列，共有1＋4＝5列。

5.3.3選擇正交表的基本原則

一般都是先確定試驗的因素、水平和交互作用，后選擇適用的L表。在確定因素的水平數時，主要因素宜多安排幾個水平，次要因素可少安排幾個水平。

（1）先看水平數。若各因素全是2水平，就選用L(2＊)表；若各因素全是3水平，就選L(3＊)表。若各因素的水平數不相同，就選擇適用的混合水平表。

（2）每一個交互作用在正交表中應占一列或二列。要看所選的正交表是否足夠大，能否容納得下所考慮的因素和交互作用。為了對試驗結果進行方差分析或回歸分析，還必須至少留一個空白列，作為“誤差”列，在極差分析中要作為“其他因素”列處理。

（3）要看試驗精度的要求。若要求高，則宜取實驗次數多的L表。

（4）若試驗費用很昂貴，或試驗的經費很有限，或人力和時間都比較緊張，則不宜選實驗次數太多的L表。

（5）按原來考慮的因素、水平和交互作用去選擇正交表，若無正好適用的正交表可選，簡便且可行的辦法是適當修改原定的水平數。

（6）對某因素或某交互作用的影響是否確實存在沒有把握的情況下，選擇L表時常為該選大表還是選小表而猶豫。若條件許可，應盡量選用大表，讓影響存在的可能性較大的因素和交互作用各占適當的列。某因素或某交互作用的影響是否真的存在，留到方差分析進行顯著性檢驗時再做結論。這樣既可以減少試驗的工作量，又不致于漏掉重要的信息。

5.3.4正交表的表頭設計　

所謂表頭設計，就是確定試驗所考慮的因素和交互作用，在正交表中該放在哪一列的問題。

（1）有交互作用時，表頭設計則必須嚴格地按規定辦事。因篇幅限制，此處不討論，請查閱有關書籍。

（2）若試驗不考慮交互作用，則表頭設計可以是任意的。如在例5-1中，對L9（34）表頭設計，表5-3所列的各種方案都是可用的。但是正交表的構造是組合數學問題，必須滿足5.2中所述的特點。對試驗之初不考慮交互作用而選用較大的正交表，空列較多時，最好仍與有交互作用時一樣，按規定進行表頭設計。只不過將有交互作用的列先視為空列，待試驗結束后再加以判定。

5．4正交試驗的操作方法

（1）分區組。對于一批試驗，如果要使用幾臺不同的機器，或要使用幾種原料來進行，為了防止機器或原料的不同而帶來誤差，從而干擾試驗的分析，可在開始做實驗之前，用L表中未排因素和交互作用的一個空白列來安排機器或原料。

與此類似，若試驗指標的檢驗需要幾個人（或幾臺機器）來做，為了消除不同人（或儀器）檢驗的水平不同給試驗分析帶來干擾，也可采用在L表中用一空白列來安排的辦法。這樣一種作法叫做分區組法。

（2）因素水平表排列順序的隨機化。如在例5-1中，每個因素的水平序號從小到大時，因素的數值總是按由小到大或由大到小的順序排列。按正交表做試驗時，所有的1水平要碰在一起，而這種極端的情況有時是不希望出現的，有時也沒有實際意義。因此在排列因素水平表時，最好不要簡單地按因素數值由小到大或由大到小的順序排列。從理論上講，最好能使用一種叫做隨機化的方法。所謂隨機化就是采用抽簽或查隨機數值表的辦法，來決定排列的別有順序。

（3）試驗進行的次序沒必要完全按照正交表上試驗號碼的順序。為減少試驗中由于先后實驗操作熟練的程度不勻帶來的誤差干擾，理論上推薦用抽簽的辦法來決定試驗的次序。

（4）在確定每一個實驗的實驗條件時，只需考慮所確定的幾個因素和分區組該如何取值，而不要（其實也無法）考慮交互作用列和誤差列怎么辦的問題。交互作用列和誤差列的取值問題由實驗本身的客觀規律來確定，它們對指標影響的大小在方差分析時給出。

（5）做實驗時，要力求嚴格控制實驗條件。這個問題在因素各水平下的數值差別不大時更為重要。例如，例5-1中的因素（加堿量）m的三個水平：m1＝2.0，m2=2.5，m3=3.0，在以m＝m2=2.5為條件的某一個實驗中，就必須嚴格認真地讓m2=2.5。若因為粗心和不負責任，造成m2=2.2或造成m2=3.0，那就將使整個試驗失去正交試驗設計方法的特點，使極差和方差分析方法的應用喪失了必要的前提條件，因而得不到正確的試驗結果。

5．5正交試驗結果分析方法

正交試驗方法之所以能得到科技工作者的重視并在實踐中得到廣泛的應用，其原因不僅在于能使試驗的次數減少，而且能夠用相應的方法對試驗結果進行分析并引出許多有價值的結論。因此，有正交試驗法進行實驗，如果不對試驗結果進行認真的分析，并引出應該引出的結論，那就失去用正交試驗法的意義和價值。

5.5.1極差分析方法

下面以表5-4為例討論L4（23）正交試驗結果的極差分析方法。極差指的是各列中各水平對應的試驗指標平均值的最大值與最小值之差。從表5-4的計算結果可知，用極差法分析正交試驗結果可引出以下幾個結論：

（1）在試驗范圍內，各列對試驗指標的影響從大到小的排隊。某列的極差最大，表示該列的數值在試驗范圍內變化時，使試驗指標數值的變化最大。所以各列對試驗指標的影響從大到小的排隊，就是各列極差D的數值從大到小的排隊。

（2）試驗指標隨各因素的變化趨勢。為了能更直觀地看到變化趨勢，常將計算結果繪制成圖。

（3）使試驗指標最好的適宜的操作條件（適宜的因素水平搭配）。

（4）可對所得結論和進一步的研究方向進行討論。

5.5.2方差分析方法

5.5.2.1計算公式和項目

試驗指標的加和值＝，試驗指標的平均值，以第j列為例：

以上7項的計算方法同極差法（見表5-4）。

⑻偏差平方和

⑼fj——自由度。fj＝第j列的水平數－1。

⑽Vj——方差。Vj＝Sj／fj。

⑾Ve——誤差列的方差。Ve＝Se／fe。式中，e為正交表的誤差列。

⑿Fj——方差之比Fj＝Vj／Ve。

⒀查F分布數值表（F分布數值表請查閱有關參考書）做顯著性檢驗。

⒁總的偏差平方和

⒂總的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。即

式中，m為正交表的列數。

若誤差列由5個單列組成，則誤差列的偏差平方和Se等于5個單列的偏差平方和之和，即：Se＝Se1＋Se2＋Se3＋Se4＋Se5；也可用Se＝S總＋S，，來計算，其中S，，為安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和。

5.5.2.2可引出的結論

與極差法相比，方差分析方法可以多引出一個結論：各列對試驗指標的影響是否顯著，在什么水平上顯著。在數理統計上，這是一個很重要的問題。顯著性檢驗強調試驗在分析每列對指標影響中所起的作用。如果某列對指標影響不顯著，那么，討論試驗指標隨它的變化趨勢是毫無意義的。因為在某列對指標的影響不顯著時，即使從表中的數據可以看出該列水平變化時，對應的試驗指標的數值與在以某種“規律”發生變化，但那很可能是由于實驗誤差所致，將它作為客觀規律是不可靠的。有了各列的顯著性檢驗之后，最后應將影響不顯著的交互作用列與原來的“誤差列”合并起來。組成新的“誤差列”，重新檢驗各列的顯著性。

5．6正交試驗方法在化工原理實驗中的應用舉例

例5-2　為提高真空吸濾裝置的生產能力，請用正交試驗方法確定恒壓過濾的最佳操作條件。其恒壓過濾實驗的方法、原始數據采集和過濾常數計算等見《過濾實驗》部分。影響實驗的主要因素和水平見表5-5（a）。表中Δp為過濾壓強差；T為漿液溫度；w為漿液質量分數；M為過濾介質（材質屬多孔陶瓷）。

解：（1）試驗指標的確定：恒壓過濾常數K（m2/s）

（2）選正交表：根據表5-5（a）的因素和水平，可選用L8（4×24）表。

（3）制定實驗方案：按選定的正交表，應完成8次實驗。實驗方案見表5-5（b）。

（4）實驗結果：將所計算出的恒壓過濾常數K（m2/s）列于表5-5（b）。

表5-5（a）過濾實驗因素和水平

* G2、G3為過濾漏斗的型號。過濾介質孔徑：G2為30~50μm、G3為16~30μm。

表2-5（b）正交試驗的試驗方案和實驗結果

（5）指標K的極差分析和方差分析：

分析結果見表5-5（c）。以第2列為例說明計算過程：

Ⅰ2＝4.01×10－4＋5.21×10－4＋4.83×10－4＋5.11×10－4＝1.92×10－3

Ⅱ2＝2.93×10－4＋5.55×10－4＋1.02×10－3＋1.10×10－3＝2.97×10－3

k2＝4

Ⅰ2/k2＝1.92×10-3／4＝4.79×10－4

Ⅱ2/k2＝2.97×10－3／4＝7.42×10－4

D2＝7.42×10－4- 4.79×10－4＝2.63×10－4

ΣK＝4.88×10－36.11×10－4

S2＝k2（Ⅰ2/k2－）2＋k2（Ⅱ2/k2－）2

＝4（4.79×10－4－6.11×10－4）2＋4（7.42×10－4－6.11×10－4）2＝1.38×10－7

f2＝第二列的水平數－1＝2－1＝1

V2＝S2／f2＝1.38×10－7／1＝1.38×10－7

Se＝S5＝k5（Ⅰ5/k5－）2＋k5（Ⅱ5/k5－）2

＝4（6.22×10－4－6.11×10－4）2＋4（5.99×10－4－6.11×10－4）2＝1.06×10－9

fe＝f5＝1

Ve＝Se／fe＝1.06×10－9／1＝1.06×10－9

F2=V2／Ve＝1.38×10－7／1.06×10－9＝130.2

查《F分布數值表》可知：

F（а＝0.01，f1＝1，f2＝1）＝4052>F2

F（а＝0.05，f1＝1，f2＝1）＝161.4>F2

F（а＝0.10，f1＝1，f2＝1）＝39.9<F2

F（а＝0.25，f1＝1，f2＝1）＝5.83<F2

（其中：f1為分子的自由度，f2分母的自由度）

所以第二列對試驗指標的影響在＝0.10水平上顯著。其他列的計算結果見表2-5（c）。

表5－5（c）K的極差分析和方差分析

（6）由極差分析結果引出的結論：請同學們自己分析。

（7）由方差分析結果引出的結論。

①第1、2列上的因素Δp、T在＝0.10水平上顯著；第3列上的因素w在＝0.05水平上顯著；第4列上的因素M在＝0.25水平上仍不顯著。

②各因素、水平對K的影響變化趨勢見圖5-3。圖5-3是用表5-5（a）的水平、因素和表5-5（c）的Ⅰj/kj、Ⅱj/kj、Ⅲj/kj、Ⅳj/k值來標繪的。從圖中可看出：

A．過濾壓強差增大，K值增大；

B．過濾溫度增大，K值增大；

C．過濾濃度增大，K值減??；

D．過濾介質由1水平變為2水平，多孔陶瓷微孔直徑減小，K值減小。因為第4列對K值的影響在＝0.25水平上不顯著，所以此變化趨勢是不可信的。

③適宜操作條件的確定。由恒壓過濾速率議程式可知，試驗指標K值愈大愈好。為此，本例的適宜操作條件是各水平下K的平均值最大時的條件：

過濾壓強差為4水平，5.88kPa

過濾溫度為2水平，33℃　　　　　　　　　

過濾漿液濃度為1水平，稀濾液

過濾介質為1水平或2水平（這是因為第4列對K值的影響在＝0.25水平上不顯著。為此可優先選擇價格便宜或容易得到者）。

上述條件恰好是正交表中第8個試驗號。